Les nombres rationnels sont ceux qui ont un certain rapport entre un nombre entier p et un nombre non nul q. L'ensemble des nombres rationnels est noté Q, et représente l'ensemble de tous les rapports possibles entre nombres entiers et nombres naturels p/q.Dans les expressions mathématiques, les nombres rationnels inconnus ou non spécifiés sont représentés par des lettres minuscules en italique de la fin du milieu ou de la fin de l'alphabet, en particulier r, s et t, et occasionnellement u à z. Les nombres rationnels intéressent principalement les théoriciens. Les mathématiques théoriques ont des applications potentiellement importantes dans les communications et l'informatique, en particulier dans le cryptage et la sécurité des données. Si r et t sont des nombres rationnels tels que r < t, alors il existe un nombre rationnel s tel que r < s < t. Ceci est vrai quelle que soit la petite différence entre r et t, tant que les deux ne sont pas égaux.En ce sens, l'ensemble Q est "dense. "La dénumérabilité fait référence au fait que, même si un ensemble peut contenir un nombre infini d'éléments, et même si ces éléments peuvent être "denses", les éléments peuvent être définis par une liste qui leur attribue à chacun un numéro unique dans une séquence correspondant à l'ensemble des nombres naturels N = 1, 2, 3, .......}. Pour l'ensemble des nombres naturels N et l'ensemble des nombres entiers Z, qui ne sont ni l'un ni l'autre "denses", les listes de dénombrement sont simples.Pour Q, la construction d'une telle liste est moins évidente.Un exemple figure ci-dessous.La matrice comprend tous les nombres possibles de la forme p/q, où p est un nombre entier et q un nombre naturel non nul.Chaque nombre rationnel possible est représenté dans le tableau.en suivant la ligne rose, on peut considérer que 0 est le "premier arrêt", 1/1 le "deuxième arrêt", -1/1 le "troisième arrêt", 1/2 le "quatrième arrêt", et ainsi de suite.cela définit une liste séquentielle (bien que redondante) des nombres rationnels.il existe une correspondance biunivoque entre les éléments du tableau et l'ensemble des nombres naturels N.
Contrairement aux nombres naturels et aux nombres entiers, les nombres complexes et les ensembles non dénombrables de nombres irrationnels, réels, imaginaires et rationnels ne sont pas dénombrables. Ces nombres ont une cardinalité supérieure à l'ensemble N. Cela nous amène à conclure que certains "infinis", sont plus grands que d'autres.
Une modification de l'algorithme illustré doit être apportée afin de montrer une relation biunivoque entre Q et N. Cette méthode permet de prouver que l'ensemble Q contient exactement le même nombre d'éléments que l'ensemble N. Bien que cela puisse sembler difficile à croire pour certains, la logique qui le sous-tend est solide.