Un nombre premier de Fermat est un nombre de Fermat qui est aussi un nombre premier . Un nombre de Fermat F n est de la forme 2 m + 1, où m est la nième puissance de 2 (c'est-à-dire m = 2 n , où n est un nombre entier). Tout d'abord, trouvez F n = 2 n et calculez 2m + 1. Pierre de Fermat (mathématicien et juriste français du 17ème siècle) a été le premier à définir ces nombres et à reconnaître leur importance. Fermat pensait que tous les nombres de la forme ci-dessus sont des nombres premiers, c'est-à-dire que F n est premier pour toutes les valeurs entières de n . C'est effectivement le cas pour n = 0, n = 1, n = 2, n = 3 et n = 4 :
Si n est 2, alors m = 2 2 = 4. F 2 = 2 4 + 1 = 16 + 1 = 17, qui est premier
Comparez le nombre premier de Mersenne .
Si n=4, m = 4 = 16. F 4 = 2 16 +1 = 65536 +1 = 65537 +1 = 65537 +1, ce qui est premier
En utilisant des ordinateurs, les mathématiciens n'ont pas encore trouvé de nombres premiers de Fermat pour n supérieur à 4. L'hypothèse initiale de Fermat semble être fausse. La recherche se poursuit pour trouver des nombres de Fermat F n qui sont premiers lorsque n est supérieur à 4.
Lorsque n = 0, m = 2 = 1 ; donc F = 2 1 + 1 = 2 + 1 = 3, qui est premier
Lorsque n = 1, ? m = 2 1 = 2 ; donc F 1 = 2 2 + 1 = 4 + 1 = 5, qui est premier
Lorsque n = 3, m = 2 3 = 8 ; par conséquent, F3 = 2 8 + 1, qui est égal à 256 + 1, ou 257. C'est un nombre premier