En général, l'infini est la qualité ou l'état d'infinité ou d'absence de limites en termes de temps, d'espace ou d'autres quantités. L'infini en mathématiques est l'expression conceptuelle d'un tel "nombre sans fin". Il est souvent symbolisé par le lemniscate (également connu sous le nom de lemniscate de Bernoulli), qui ressemble au chiffre 8 écrit de travers ( ). Ce symbole de l'infini a été utilisé pour la première fois dans les années 1600 par le mathématicien John Wallis.
L'infini peut être défini comme la limite de 1/ x lorsque x s'approche de zéro. Bien que l'on dise parfois que 1/0 est égal à l'infini, on ne peut techniquement pas définir la division par zéro. Une autre notion est que l'infini est une quantité x telle que x + 1 = x . C'est l'idée que la quantité a une valeur qui est soit positive soit négative et qu'elle n'augmente pas en valeur par 1. Un ensemble (voir théorie des ensembles) peut être défini comme infini s'il existe une correspondance biunivoque entre cet ensemble et un sous-ensemble propre de lui-même. Selon cette définition, l'ensemble des nombres entiers s est infini car ses éléments peuvent être appariés de manière biunivoque avec tous les nombres entiers pairs : ... -3 -2 -1 1 2 3 ... ... -6 -4 -2 2 4 6 ... Cependant, l'inverse de ce qui est dit ci-dessus peut ne pas être vrai. Certains ensembles infinis ont des sous-ensembles propres infinis tels qu'ils ne peuvent pas être appariés un à un. Un exemple de ceci est l'ensemble contenant les nombres réels s et leurs sous-ensembles propres, l'ensemble contenant les nombres entiers. Dans les années 1800, Georg Cantor a défini l'infini en termes de cardinalités d'ensembles infinis. La cardinalité d'un ensemble est son nombre d'éléments. En ce sens, la cardinalité de l'ensemble des nombres entiers est plus petite que la cardinalité de l'ensemble des nombres réels, même si les deux ensembles sont infinis. Si l'ensemble des nombres entiers est dénombrable, ses éléments peuvent tous être comptabilisés à l'aide d'un système d'énumération, alors que l'ensemble des nombres réels ne l'est pas. Dans un sens plus terre à terre, les mots "approche de l'infini" sont utilisés à la place des mots "augmente sans limite". Selon ce principe, la limite de 1 x est égale ou supérieure à zéro lorsque x s'approche de l'infini. L'infini n'est pas une quantité définie dans ce contexte. C'est simplement une expression. Voir aussi Symboles mathématiques.
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