Induction mathématique

L'induction mathématique est une forme spéciale de raisonnement déductif qui prouve un fait sur un ensemble infini d'éléments en prenant un nombre fini d'étapes. Pour que l'induction mathématique fonctionne avec un ensemble infini, cet ensemble doit être dénombrable, c'est-à-dire qu'une correspondance biunivoque doit exister entre les éléments de l'ensemble en question et l'ensemble des entiers positifs. Il doit également être possible de décrire l'ensemble comme une liste implicite d'éléments discrets comme .....}.

Prenons un ensemble dénombrable infini X, qui possède des éléments x1, x2, x3, x4, etc. Afin de prouver une proposition concernant tous les éléments de X, nous commençons par prouver que la proposition est vraie pour x1, le premier élément de l'ensemble X. Ensuite, nous devons prouver que si la proposition est vraie pour un élément arbitraire xn dans X (où n est un entier positif), alors la proposition est également vraie pour l'élément suivant xn+1 dans l'ensemble X. Nous pouvons accomplir ces deux choses en utilisant le raisonnement déductif. Nous devons alors créer une chaîne sans fin d'affirmations vraies par le biais d'une inférence logique rigoureuse, qui prouve que la proposition est vraie pour tous les éléments de X. Blaise Pascal, un mathématicien français, a été le premier à formaliser expressément le principe d'induction en 1665. Le raisonnement inductif ne doit pas être confondu avec l'induction mathématique. Alors que l'induction mathématiquement saine est logiquement sûre (ce qui signifie que les conclusions sont mathématiquement correctes), la seconde méthodologie permet l'incertitude et traite des probabilités.