Comprendre l’addition en base 16 et les concepts associés

La base 16 ou hexadécimale est un système de numération qui utilise 16 symboles pour représenter les nombres. Ces symboles sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E et F. Dans ce système, chaque chiffre représente une valeur de 16 élevée à une certaine puissance. Par exemple, le nombre 3AF en base 16 représente (3 × 16²) + (10 × 16¹) + (15 × 16⁰) en base 10 ou décimale.

L’addition de nombres en base 16 est similaire à l’addition de nombres dans d’autres systèmes de numération. La première étape consiste à aligner les chiffres en colonnes en fonction de leur valeur de place. Par exemple, pour additionner 3AF et B2 en base 16, nous les écrivons comme suit :

3 A F

+ B 2

Ensuite, nous ajoutons les chiffres de la colonne la plus à droite, qui sont F et 2. Comme F représente 15 en décimal et 2 représente 2 en décimal, leur somme est 11 en décimal ou B en hexadécimal. Nous inscrivons B dans la colonne des résultats et reportons 1 dans la colonne suivante.

3 A F

+ B 2

———

? ? B

Dans la colonne suivante, nous additionnons A et B plus le report de 1. A représente 10 en décimal, et B représente 11 en décimal. Leur somme est donc de 21 en décimal ou de 15 en hexadécimal. Nous inscrivons 5 dans la colonne des résultats et reportons 1 dans la colonne suivante.

3 A F

+ B 2

———

? 5 B

On peut aussi se demander pourquoi la base 16 ? La base 16 est couramment utilisée en informatique parce qu’elle est plus compacte que le binaire et plus facile à lire que l’octal. Étant donné qu’un chiffre hexadécimal représente quatre chiffres binaires, il est plus efficace de représenter les grands nombres en hexadécimal qu’en binaire. Par exemple, le nombre binaire 1101111010111101 est équivalent au nombre hexadécimal DEAD.

En binaire ou en base 2, une puissance de 2 est un nombre dont un seul chiffre est égal à 1, tous les autres chiffres étant des 0. Par exemple, 2¹⁰ ou 1024 en décimal est représenté par 10000000000 en binaire. Pour trouver une puissance de 2, on augmente de 2 l’exposant égal au nombre de chiffres moins un. Par exemple, 2¹⁰ est 2 à la puissance 9 (puisqu’il y a 10 chiffres, y compris le 1 le plus à gauche), soit 512 × 2, ou 1024.

La soustraction de nombres en base 2 est également similaire à la soustraction de nombres dans d’autres systèmes. La principale différence est qu’il faut emprunter 1 à un chiffre supérieur si le chiffre soustrait est plus grand que le chiffre correspondant de la fin. Par exemple, pour soustraire 101 de 110 en binaire, nous les écrivons comme suit :

1 1 0

– 1 0 1

Le chiffre le plus à droite est 0 moins 1, ce qui nous oblige à emprunter 1 au chiffre suivant. Le chiffre suivant est également 0, ce qui nous oblige à emprunter 1 au chiffre suivant, et ainsi de suite jusqu’à ce que nous trouvions un chiffre supérieur ou égal à 1. Par conséquent, nous soustrayons 1 au chiffre le plus à gauche et ajoutons 2 au chiffre le plus à droite. Le résultat est 1 dans le chiffre le plus à gauche et 1 dans le chiffre le plus à droite. La différence est donc 001 en binaire ou 1 en décimal.

Enfin, pour convertir un nombre négatif en hexadécimal, nous devons utiliser la notation du complément à deux. Le complément à deux est une méthode de représentation des nombres négatifs en binaire qui consiste à inverser tous les bits et à ajouter 1 au résultat. Par exemple, pour convertir -42 en binaire en utilisant 8 bits, nous convertissons d’abord 42 en binaire, soit 00101010. Ensuite, nous inversons tous les bits, ce qui donne 11010101. Enfin, nous ajoutons 1 au résultat, ce qui donne 11010110. Par conséquent, -42 en hexadécimal est représenté par DA.